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By Jörg Bewersdorff

Dieses Buch ist eine leicht verständliche Einführung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund rückt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im sixteen. Jahrhundert allgemeine Lösungsformeln für Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bemühungen für Gleichungen fünften Grades fehl. Nach quickly dreihundertjähriger Suche führte dies schließlich zur Begründung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdrücke lösbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation für die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint. In dieser Auflage wurde ein Kapitel ergänzt, in dem ein alternativer, auf Emil Artin zurückgehender Beweis des Hauptsatzes der Galois-Theorie wiedergegeben wird. Dieses Kapitel kann quick unabhängig von den anderen Kapiteln gelesen werden.

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Denn eigentlich ist dieser Satz in seiner Natur überhaupt nicht algebraisch, das heißt, er basiert nur zu einem geringen Teil auf denjenigen Eigenschaften, welche die vier (Grundrechen-)Operationen im Bereich der komplexen Zahlen besitzen. Viel entscheidender sind dagegen die Eigenschaften der komplexen Zahlen, die auf dem Abstandsbegriff aufbauen – gemeint sind Thematiken wie Konvergenz, Stetigkeit und so weiter. Ein Vergleich mit einer ähnlichen Erscheinung im Bereich der reellen Zahlen mag dies erläutern: Der Graph des als reellwertige Funktion aufgefassten Polynoms x3 – 2 verläuft im Koordinatensystem von „links unten“ nach „rechts oben“.

Für die allgemeine kubische Gleichung kommt den dritten Einheitswurzeln die Bedeutung zu, dass mit ihrer Hilfe die Cardanische Formel derart erweitert werden kann, dass stets drei Lösungen berechnet werden können. Dazu wählt man zunächst zur Abkürzung die Bezeichnung 1 2 ζ =− + 3 i 2 und erkennt dann, dass die beiden der Cardanischen Formel zugrunde liegenden Gleichungen (siehe Seite 6) 3uv = − p 3 u + v 3 = −q außer dem bereits in Kapitel 1 angeführten Lösungspaar (u, v) zwei weitere Lösungspaare (ζ u, ζ 2v) und (ζ 2u, ζ v) besitzen, so dass man insgesamt die folgenden drei Lösungen für die reduzierte kubische Gleichung x3 + px + q = 0 erhält: 20 Casus irreducibilis – die Geburtsstunde der komplexen Zahlen x1 = 3 − q2 + x2 = ζ 3 − q2 + x3 = ζ 2 3 − q2 + q 2 2 p 3 3 + 3 − q2 − q 2 2 p 3 3 + ζ2 3 − q2 − q 2 2 p 3 3 + ζ 3 − q2 − ( ) +( ) ( ) +( ) ( ) +( ) q 2 2 p 3 3 q 2 2 p 3 3 q 2 2 p 3 3 ( ) +( ) ( ) +( ) ( ) +( ) Die Formel für die drei Lösungen gilt ganz allgemein, da bei ihrer Herleitung keinerlei Einschränkung gemacht wurden.

Ein entsprechendes Faksimile samt Übersetzung ist zu finden in Henk J. M. ), Geschichte der Algebra, Mannheim 1990, S. 183-234; Faksimile und Übersetzung: S. 196 f. Gleichungen n-ten Grades und ihre Eigenschaften 31 nehmen. , xn Lösungen sind und dass es keine anderen Lösungen gibt. Man braucht also nur die Terme auszumultiplizieren und erhält dann eine Gleichung mit der gewünschten Eigenschaft. Insbesondere erklärt der Vieta’sche Wurzelsatz auch eine bereits von Cardano in seiner Ars magna niedergeschriebene Beobachtung.

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