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By Hall E. H.

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Probability: An Introduction

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Demonstration: q> x;. (t) = exp[A(e it -1)] it -itA vA vA i t . 01 q> x;. -/t (t) = exp[ A( exp( 01) -1)] exp( 01) = exp[ A(exp( 01) - A -ltv A) -- J"i vA t2 2 t2 2 q> x;. -/t (t) == exp[A + itJ"i ---A-itJ"i) == exp(--) -- J"i On retrouve 1:1 encore la densite de la loi normale. VI-7-2 Approximation de la loi de Poisson par la loi normale Soit X une variable suivant une loi de Poisson de parametre A.. Pour A. assez grand, on peut considerer que X suit une loi de Laplace-Gauss: LG(A, Ji) . eette approximation est tres satisfaisante pour A.

Toutefois, la loi Gamma Yr est continue et la loi de Poisson est discrete. IV -4-5 Propriete Si la variable aleatoire X suit une loi exponentielle de parametre A, la variable aleatoire AX suit la loi exponentielle de parametre 1 qui est la loi 110 X suit une loi exponentielle de densite: I(x) = Aexp(-Ax). Po sons Y = Ax. Sa densite g veri fie g(y)dy = I (x )dx = exp( - y )dy . g(y) = exp(-y) On retrouve la densite d'une loi exponentielle de parametre 1. La loi exponentielle est un cas particulier de la loi Gamma.

Esperance conditionnelle On definit l' esperance conditionnelle de Y sachant X = x par: E (Y / X = x) = f yg(y / x )dy R On definit de la meme fayon l'esperance conditionnelle de X sachant Y = y. Les theoremes de l'esperance totale et de la variance totale sont egalement valables dans Ie cas des variables continues. On peut remarquer la encore que E(Y / X = x) est une fonction de x. La courbe de regression de Y en X est l'ensemble des points {x, E(Y / X = x)}. VII- 4) COEFFICIENT ET RAPPORT DE CORRELATION VII-4-1 Espace de Hilbert de classes de variables aleatoires L'ensemble de toutes les variables aleatoires definies sur un meme domaine produit scalaire : (X,y) = E(XY) , forme un espace de Hilbert V.

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